101 utilizações de uma equação quadrática: Parte II

Vamos começar de onde paramos, com as curvas quadráticas conhecido como o círculo, elipse, hipérbole e parábola. Estes eram conhecidos e têm sido estudados desde os antigos gregos, mas para além do círculo que não parece ter qualquer aplicação prática. No entanto, no século 16, chegou a hora para eles para mudar o mundo.

Com o advento do Renascimento, os pensadores profundos começaram a olhar o mundo de uma maneira diferente. Um deles foi Copérnico, que fez história ao propor que a Terra girava em torno do Sol e não o contrário. Copérnico achava que a órbita da Terra era um círculo - em parte porque é muito perto de um círculo, e também porque o círculo, sendo tão simétrica, foi considerado como a curva mais perfeita possível. Coisas permaneceu assim até Kepler, usando algumas observações muito cuidadosas de Tycho Brahe, encontrei algumas discrepâncias entre as previsões das teorias de Copérnico e os dados experimentais. O que Kepler descobriu foi que os planetas não giram o Sol em círculos, em vez disso, deu a volta em elipses. Regras de Kepler, então, equipado as observações perfeitamente. Por fim, as seções cônicas que vimos no último artigo entrou em sua própria, 1500 anos depois de serem descobertos.Políticos e jornalistas de jornais, por favor tome nota! Ele não parou por aí: outros objetos celestes, como cometas certos, foram encontrados para se mover ao longo de órbitas hiperbólicas. Estas descobertas notáveis ​​por Kepler ajudou a criar no mundo moderno.

Equações do segundo grau não apenas descreveu as órbitas ao longo do qual os planetas se moviam em torno do Sol, mas também deu um jeito de observá-los mais de perto. A chave para avanços na astronomia foi a invenção do telescópio. Usando um telescópio de Galileu foi capaz de observar as luas de Júpiter e as fases de Vênus, ambas as quais deram suporte às teorias de Copérnico. Mais tarde, grandes telescópios refletores foram utilizados para investigar os mistérios do Universo. Nos últimos anos, radiotelescópios gigantes foram usadas tanto para ouvir os estrangeiros e para enviar mensagens que um estrangeiro potencial pode pegar. Telescópio de Galileu usado lentes, a forma da qual foi formada por duas hipérboles de intersecção. O telescópio reflectindo, inventado por Newton (ver mais adiante) tem um espelho para o qual cada secção transversal tem a forma de uma parábola! A mesma forma parabólica funciona tão bem para a bacia de um radiotelescópio gigante, um espelho de barbear e uma antena parabólica. Verdadeiramente, equações do segundo grau estão no centro das comunicações modernas.

Galileu, por equações quadráticas pode salvar sua vida e "aquilo" drop goal

O ajuste entre a elipse, descrita por uma equação quadrática, e da natureza parecia muito notável no momento. Era como se a natureza disse: ". Aqui é uma curva que as pessoas saibam, vamos fazer algum uso dele" Entender por que isso era a curva da direita teve que esperar até Galileo e Newton. A resposta é talvez a razão mais importante que as equações quadráticas importa tanto: é a ligação entre equações quadráticas e de aceleração. Foi Galileu quem primeiro viu esse link no início do século 17.

A maioria das pessoas já ouviu falar de Galileu, um colorido Professor de Matemática na Universidade de Pisa. A parte final de sua carreira centrada em uma batalha épica com a Inquisição espanhola sobre a validade da visão copernicana do sistema solar. No entanto, antes disso, ele dedicou grande parte de sua vida a um estudo de como as coisas se movem. Muito antes de Galileu, o cientista grego Aristóteles tinha afirmado que o estado natural da matéria era para ele estar em repouso. Aristóteles também disse que os objetos mais pesados ​​caíram mais rapidamente que os mais leves.Galileu desafiou ambas as peças de sabedoria aceita. No coração do trabalho de Galileu foi uma compreensão da dinâmica, que tem uma relevância enorme para tais atividades vitais como saber quando (e como) para parar o carro e também como chutar um drop goal.

No coração do presente é uma compreensão da ideia de aceleração e do papel que equações quadráticas desempenhar.

Se um objeto está se movendo em uma direção sem uma força atuando sobre ele, então ele continua a se mover nessa direção com uma velocidade constante. Podemos chamar isso de velocidade  .Agora, se a partícula começa no ponto  e move-se desta forma por um tempo  , Então a sua posição resultante é dada por  Normalmente a partícula tem uma força agindo sobre ele, tal como a gravidade para uma bola de rugby ou o atrito dos freios de um carro. O avanço rápido a Newton sabemos que o efeito de uma força constante é produzir uma aceleração constante  . Se a velocidade de partida é  , Então a velocidade  depois de um tempo  é dada por  . Galileu percebeu que poderia ir a partir desta expressão para trabalhar a posição da partícula. Em particular, se a partícula começa na posição  em seguida, a posição  no momento  é dada por

Esta é uma equação quadrática que liga  para  com muitas implicações importantes para todos nós.Por exemplo, suponha que nós sabemos a força de travagem aplicada a um carro: então esta fórmula permite-nos trabalhar para fora ou o quão longe viajamos em um tempo  , Ou, inversamente, resolvendo para  , Quanto tempo leva para percorrer uma determinada distância.

Uma aplicação muito importante é encontrar a distância de travagem de um carro viajando a uma dada velocidade  . Suponha que um carro está viajando a essa velocidade, e você aplicar os freios, quanto tempo vai demorar para parar? Até mesmo jornalistas pode estar interessado nesta questão, especialmente se isso significa evitar um acidente. Em particular, se uma desaceleração constante é aplicada a desacelerar um carro para baixo a partir da velocidade  para acelerar 0, então a solução para  e substituindo dá a distância de travagem  :

A razão que este resultado é tão importante para todos nós é que ele prevê que a duplicação quadruplica a sua velocidade, ao invés de duplas, a sua distância de parada. Nesta expressão quadrática vemos uma forte evidência de como a razão pela qual deve abrandar em áreas urbanas, como uma pequena redução na velocidade leva a uma redução muito maior na distância de paragem.Resolvendo a equação quadrática corretamente aqui poderia, literalmente, salvar o seu, ou de outra pessoa, a vida!

A fórmula simples quadrático relativo tempo para a distância é também a base da ciência da balística, que analisa a maneira que os objetos se movem por gravidade. Neste caso, um objecto caia no direcção com uma aceleração constante  . Em contraste, se move na  direcção horizontal a uma velocidade constante (na ausência de resistência do ar). Se ele começa no ponto  com a velocidade  no  direção e velocidade  para cima, em seguida, Galileo foi capaz de mostrar que a posição no momento  é dada por

Dito de outra forma, temos

Ainda equação quadrática outro, desta vez relativa  para  . O que foi notável foi a de que a forma resultante da trajectória foi, naturalmente, uma parábola.

Suponha agora que você está no último minuto de um jogo de rugby e você tem que chutar um drop goal perfeito. Para fazer isso você deve chutar a bola no ângulo correto e velocidade de modo que quando ele viaja uma distância x para a meta é a altura certa para y passar por cima das traves. Para fazer isso você deve resolver uma equação quadrática. Claro que no calor do momento em que você pode não ter tempo para fazer isso, que é onde a prática vem em! Mais a sério, a equação parabólica para a trajetória das partículas - com modificações para permitir a resistência do ar, o giro do projétil e também a rotação da Terra - serve de base para cálculos de artilharia ... um fato não perdeu no seguinte militar A descoberta de Galileu.

Deixamos Galileo com a descoberta do pêndulo. Por volta do ano 1600, Galileu foi assistir a um culto da igreja em Pisa (ele tinha a). Entediado com o sermão, ele começou a assistir a um candelabro balançar para lá e para cá - e fez uma descoberta notável: o tempo necessário para um balanço do lustre foi independente de sua amplitude. Esta descoberta levou à invenção do pêndulo e relógios diversos, tais como o relógio do avô, mas na época de Galileu não poderia explicá-la. Para isso precisamos de uma outra equação quadrática.

Newton, equações quadráticas e cantando no chuveiro

Newton nasceu no ano em que Galileu morreu e passou a transformar totalmente o sentido que entendemos a ciência eo papel que a matemática desempenha na previsibilidade científica. Newton foi inspirado pelo trabalho de Galileo e Kepler. Estes gigantes científicos tinham descrito com precisão os fenômenos da dinâmica e mecânica celeste, mas também não havia formulado as explicações científicas. Foi deixado a Newton para fornecer a explicação matemática dos fenómenos que eles observados.

Em primeiro lugar, ele formulou as três leis do movimento, que explicaram as observações de Galileu.Em segundo lugar, descreveu a lei fundamental da gravidade, o que era a de que duas massas foram atraídas umas às outras por uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Usando argumentos geométricos ele foi capaz de provar que tal lei da força implícita de que os planetas tinham que se mover em torno do sol em uma seção cônica. (Claro, foi um golpe de sorte tremenda de que a lei do inverso do quadrado levou a órbitas que poderiam ser explicadas em termos de curvas de conhecidos!) Newton também trabalhou no campo da óptica, e reconheceu que os telescópios que Galileu tinha utilizado (com base em lentes ) causou problemas por refracção de luz de cores diferentes de diferentes maneiras. Ele superou isso projetando um telescópio baseado em um espelho. A melhor forma para o espelho, para trazer todos os pontos em foco, não era outro senão a parábola, levando aos telescópios refletores que vimos anteriormente.

No entanto, Newton teve mais aces na manga. Enquanto ele usou argumentos geométricos para explicar as coisas para seus contemporâneos, ele tinha também (em paralelo com Leibnitz, mas independente dele) desenvolveu cálculo. Esta era uma teoria matemática da maneira que as coisas mudam e foi perfeito para descrever objetos que agem de acordo com suas leis do movimento. O dispositivo fundamental na aplicação de cálculo para o mundo real é a equação diferencial, o qual relata a alteração das condições de um objecto para (por exemplo) as forças que actuam sobre eles.Equações diferenciais estão no centro de quase todas as modernas aplicações da matemática aos fenômenos naturais, de compreensão de como o calor flui através de uma barra para o caminho que os padrões de pelagem de animais desenvolver (ver Como o leopardo adquiriu suas pintas , também nesta edição do Plus). Suas aplicações são quase ilimitadas, e que desempenham um papel vital em grande parte da tecnologia moderna.

Quando Newton estava vivo tudo isso foi ainda no futuro! Mas um problema que ele fez foi considerar o movimento do pêndulo que tão interessado Galileo. Este movimento pode ser descrita em termos de uma equação diferencial, e, no caso de oscilações de pequenas do pêndulo esta equação pode ser resolvida para encontrar o tempo do swing. Solução requer encontrar a solução para uma equação quadrática!

Se  é o ângulo de oscilação do pêndulo, em seguida, Newton percebeu que havia números  e que dependem de funções tais como o comprimento do pêndulo, a resistência do ar e da intensidade da força gravitacional para que a equação diferencial descrevendo o movimento era

Aqui  é o tempo,  é a aceleração do pêndulo e  é a sua velocidade.

É possível encontrar soluções aproximadas de equações, tais como este usando um computador, e esta é a abordagem geralmente utilizados para as equações diferenciais muito complexas encontradas na tecnologia moderna. No entanto, o matemático Leonhard Euler desenvolveu um meio de resolver esta equação particular, que contou com a solução de uma equação quadrática. Euler sugeriu a existência de uma solução da forma

onde  é a base dos logaritmos naturais. A importância desta função é que

Substituindo na equação diferencial e dividindo por  dá a seguinte equação para  :

Isso é muito familiar! Tudo o que precisamos fazer para resolver a equação diferencial original é para resolver esta equação quadrática e substituir de volta para  . Ao fazer isso, podemos prever com precisão o comportamento do pêndulo.

O que também é fascinante é que os diferentes tipos de solução da equação quadrática conduzir a soluções muito diferentes da equação diferencial. Se b ^2> 4 ac, então a equação quadrática tem duas soluções reais.

A equação diferencial mesmo tem uma solução parecendo o diagrama à direita. Fisicamente esta solução corresponde a um pêndulo com uma grande quantidade de atrito (ou um pêndulo movendo-se em um líquido tal como água). 

Em contraste, se b ² <4 ac, então a equação diferencial mesmo está oscilando soluções que se parecem com o diagrama para a esquerda. Estes são mais como os movimentos do pêndulo que estamos familiarizados.

A diferença entre estes dois tipos de movimento é muito profunda e ocorre porque, no segundo caso, as soluções da equação quadrática são complexos e envolvem a raiz quadrada de -1.Vamos olhar isso com mais detalhes hoje.

A descoberta de que equações diferenciais deste tipo (eles são chamados de equações de segunda ordem de coeficientes constantes) pode ser resolvido usando equações do segundo grau tem uma importância extraordinária. A razão é a universalidade de equações diferenciais, eo facto de que as soluções da equação quadrática resultante nos dizer se as soluções são susceptíveis a crescer, permanecer o mesmo tamanho, ou se tornam menores. Isto é muito importante para os engenheiros que estão tentando projetar estruturas seguras e máquinas. Nestas estruturas, pequenas perturbações que crescem rapidamente irá conduzir à falha estrutural (chamado instabilidade). Considerações muito semelhantes se aplicam a circuitos elétricos. Na prática, muitas vezes, é por resolver a equação quadrática acima e descobrir se o w raízes têm certas propriedades que uma máquina segura podem ser projetados. Às vezes, as soluções de crescimento pode ser útil, especialmente quando associada ao fenômeno da ressonância. Imagine que você vibra o pêndulo cima e para baixo com uma frequência de f. Certos valores de flevar a respostas muito maiores do que os outros. Esta é a ressonância. Você encontra ressonância toda vez que você sintonizar um rádio ou cantar no chuveiro. É as notas ressonantes do chuveiro que o melhor som (mais alto e) quando você cantá-las. No caso de o pêndulo, a frequência de ressonância é dada por

Equações quadráticas levar ao ar

A ligação entre equações quadráticas e equações diferenciais de segunda ordem não é coincidência: é todo amarrado com a ligação entre força e aceleração descrita na segunda lei de Newton. Quando Newton formulou esta lei ele estava pensando, principalmente do movimento de corpos rígidos. No entanto, foi realizado logo que as mesmas leis poderia ser aplicada para a forma de fluidos, tais como água e do ar deslocado. Em particular, é possível utilizar as leis de Newton para encontrar as relações entre a velocidade de um fluido e da sua pressão. Versões sofisticadas dessas leis (chamado de Navier-Stokes e afins equações diferenciais parciais) são resolvidos em computadores de grande porte a previsão do tempo. No entanto, uma solução particular, válida para muitos tipos de fluxo de fluido, foi um dos ingredientes-chave na descoberta dos princípios básicos de vôo. As consequências deste ter sido imensuráveis​​e estão ligados (como sempre) com uma equação quadrática chamada de equação de Bernouilli.

A família Bernoulli composta por muitos matemáticos que individualmente e em conjunto fizeram enormes avanços na matemática. Um deles, Jacob Bernoulli, olhou para o caminho do ar mudou. Ele descobriu que se você olhar para o fluxo constante de ar com velocidade  e pressão  , E uma partícula de ar se move a uma altura  , Então não é uma constante  (A energia da partícula de ar), de modo que

Significativamente, se  é constante, em seguida, esta fórmula prevê que se  aumenta, em seguida,  diminui. Este é o chamado efeito de Bernouilli. Este resultado é conseqüência direta das leis de Newton do movimento e só se aplica a suave movimento de fluidos que não são muito pegajosa (viscoso). No entanto, esta equação quadrática é precisa o suficiente para prever o comportamento do fluxo de ar sobre a asa de um avião e ver por que uma aeronave voa.

Há um número de experiências simples que pode demonstrar o efeito de Bernoulli. Uma das mais simples é a de suspender dois pingue-pongue em fio de algodão de um par de centímetros de distância. Em seguida, soprar delicadamente entre eles e veja o que acontece. Ao invés de ser explodido em pedaços, eles se movem juntos.

Isto mostra que a pressão exercida por um fluido (ar) diminui como a velocidade dos aumentos de fluido. Você pode esperar um fluido em movimento a exercer mais pressão, mas aqui nós estamos falando sobre a pressão lateral, não a força gerada pelo movimento do próprio fluido. Essa é a força que você sente quando o vento sopra.

A experiência mais extrema, o que realmente funciona, envolve uma outra bola de ping-pong. Este é libertado a partir de repouso em um funil de cabeça para baixo com um fluxo de ar descendente.

Se você usar um fluxo constante do ar e um funil grande o suficiente, você deve ser capaz de equilibrar a bola de ping-pong. Na prática, um aspirador de pó para trás, uma bola de ping-pong e um funil grande cozinha funcionam muito bem. Isso parece muito estranho que o downdraft de ar parece sugar a bola para cima. No entanto, é perfeitamente de acordo com o princípio físico!

Por que uma complexa equação quadrática leva para o telefone móvel

Vamos fazer uma pausa e pensar um pouco sobre o que acontece quando nós quadrado de um número: isto é, quando tomamos  e calcular  . Uma coisa que notamos é que, não importa o valor que nós tomamos para  ,  é sempre não-negativo. Como consequência, não pode ter uma solução. A forma como os matemáticos enfrentaram este problema foi a enganar e apenas definir uma solução para a existência! A carta  é usado para representar uma solução para

assim  . Assim,  pode não ser um número real e, por isso ele é chamado um número imaginário. Observe também que

Assim  é também uma solução com a equação  .

Historicamente, os números imaginários veio à tona quando se tenta resolver equações cúbicas, ao invés de equações quadráticas. O que foi mais perplexing era que na utilização destes números subtis e imaginária foi possível resolver as equações cúbicos. De facto, o caso em que os números imaginários necessário durante o cálculo revelaram ter soluções reais!

Essa correção matemática tem de ser justificada! Caso contrário, pode apenas manter a inventar novos tipos de números cada vez que nos deparamos com um problema que não podemos resolver.Eventualmente poderíamos ficar sem letras, e em qualquer caso, iríamos ganhar não entender como todos esses novos tipos de números relacionados entre si. A coisa toda seria impossível. O resultado muito profundo matemático é que na verdade, inventando novos tipos de números acaba por ser completamente desnecessário. Usando uma combinação de números reais e imaginários, conhecido como números complexos, passa a ser suficiente para resolver virtualmente todos os problemas matemáticos! A primeira pessoa a realmente usar números imaginários com confiança foi Leonhard Euler, que viveu de 1707-1783, e um de seus outros selvagens e audazes cálculos matemáticos é explicada em uma série infinita de surpresas por um de nós (Chris Sangwin) na edição 19 de Plus.

O número imaginário  ocorre em uma das fórmulas mais belas em matemática, que relaciona  ,  (A base dos logaritmos naturais) e  . Isto é

Este é um caso especial de um resultado mais geral, que liga a função exponencial  com  e  através dos números complexos. Euler descobriu que

Tanto  e  são termos de oscilação, que é para dizer que repetir periodicamente. Esta fórmula fornece uma percepção de como a equação diferencial que modela o pêndulo amortecido, que tem uma solução da forma  , Podem ter soluções oscilantes. Se  é imaginário, ou complexo, a fórmula de Euler permite que o termo exponencial para ser reescrita como uma combinação de e  .

Outra aplicação muito significativa do número imaginário  ao mundo físico vem da teoria quântica.Esta teoria lida com fenômenos em nível microscópico, onde quantidades (como os elétrons e fótons de energia) podem se comportar tanto como partículas e ondas oscilantes. Como vimos, o comportamento oscilatório pode ser descrita usando  . A equação fundamental da teoria quântica que é usado para calcular o "número de onda" de uma quantidade de (a probabilidade de estar em uma localização particular) é a equação de Schrödinger. Esta é uma equação diferencial (parcial) envolvendo  , Que pode ser escrita como

Esta equação tem muitas aplicações práticas. Ao usá-lo para prever o movimento dos elétrons e buracos em semi-condutores é possível projetar circuitos integrados com um grande número de componentes que podem executar tarefas incrivelmente complexas. Tais circuitos são o coração da tecnologia moderna muito, incluindo computadores, carros, aparelhos de DVD e telefones celulares.Na verdade, um telefone celular funciona através da conversão de seu discurso em ondas de rádio de alta freqüência eo comportamento dessas ondas pode ser calculada através de fórmulas que envolveu o  . Assim, podemos dizer com a justificação de que, sem a simples equação quadrática  o telefone móvel nunca teria sido inventado.

Um toque de caos quadrática

Imagine que você é um biólogo ou ecólogo que está interessado na forma como a população de uma determinada espécie de inseto mudanças de ano para ano. Alguns insetos têm apenas uma geração por ano, e um modelo simples assume que a população no próximo ano vai depender apenas da população no ano em curso. Assim, se x _n é a população no ano n, então x _{n +1} será alguma função de x _n.

Um modelo muito simples que assume uma proporção, ax _n, digamos, procriar com sucesso e que bx _n ² morrem de superlotação. Para simplificar as equações que pode re-dimensionar as coordenadas para se obter a seguinte equação quadrática:

x _n +1 = _n rx (1 - x _n)

para um número fixo r> 0 e população inicial x _1. Estritamente falando, nós definimos uma família inteira de equações quadráticas, marcado pela constante r. Cada membro desta família é conhecido como um mapa logística.

Vale bem a pena realizar alguns experimentos numéricos para investigar o comportamento dessas populações de insetos. Você pode tentar isso mesmo usando uma planilha como o Excel. Para fazer isso lugar a população inicial na célula A1, que deve estar compreendida entre 0 e 1. Em seguida, digite a fórmula

= 4 * A1 * (1 - A1)

na célula A2. Isto tem o efeito de fazer A2 igual ao da população no ano 2, dado um valor de r = 4.Agora, copiar os conteúdos da célula A2 em A4 A3, e assim por diante. A grande coisa sobre o Excel, e outros pacotes de planilhas, é que ele automaticamente muda a referência a A1 na fórmula para a célula de cima. Em seguida, Excel automaticamente calcular a população de insectos para um número de anos. Você pode alterar a população inicial na célula A1. Também é possível alterar o valor de r,que no caso do exemplo acima foi ajustado para 4. Se isso for feito, você terá que copiar a fórmula nova em todas as células novamente. O aventureiro também pode representar graficamente os valores da população de insectos num gráfico.

A figura acima mostra o mapa logístico com x ₁ = 0,2 e r = 3,7. Observar o comportamento muito complexo de aparência e imprevisível a partir do sistema. Para a esquerda é uma representação gráfica. A imagem à direita é conhecida como cobwebbing, pois parece um pouco com uma teia de aranha. Este é um procedimento gráfico para ajudar a visualizar o comportamento de populações de insetos.

Para desenhar uma trama de teia de aranha, a primeira coisa a fazer é escolher o valor de r e, em seguida, traçar o quadrático sobre o diagrama de teia de aranha. Em seguida, a população inicial, x ₁sobre o eixo x, e também a linha y = x. O valor de x ₂ é rx _{1 (1} - x ₁₎ por definição, que é apenas o valor de x ₁ no gráfico. Assim, desenhar uma linha vertical a partir de x ₁ até que atinja o gráfico. Em seguida desenhar uma linha horizontal de x ₂ para a linha y = x. Agora, temos a posição de x ₂ sobre o eixo X e pode repetir o processo. Para encontrar x _3, podemos simplesmente chamar uma outra linha vertical ao gráfico, e, em seguida, uma linha horizontal de volta para a linha y = x. Este procedimento pode ser repetido gráfica, sem se deixarem cegar pelo listas de números. Você pode obter um excelente sentido do que está acontecendo com um diagrama de teia de aranha.

O applet interativo abaixo lhe permitirá experimentar com diferentes valores de r puxando o máximo de cima quadrática e para baixo. O valor máximo acaba por ser r / 4 no mapa de logística, e assim o applet permite a utilização de r entre 0 e 4. Você também pode alterar a população inicial, puxando a barra horizontal com o mouse.

Estes mapas quadráticas logísticas demonstram o caos, que é uma área moderna e excitante da matemática aplicada. Caos é usado para descrever um sistema que comporta-se de uma maneira aparentemente aleatória, mesmo quando o sistema em si não é aleatória. O que é mais surpreendente é que:

Sistemas muito simples se comportam de formas muito complexas.

Por exemplo, abaixo mostramos o que acontece quando você toma duas populações iniciais que são muito próximas entre si. Em particular, inicie o sistema com x ₁ = 0,2 e, em seguida, x ₁ = 0,2001,que estão muito próximos de fato. Depois de apenas algumas gerações, as populações estão a fazer coisas completamente diferentes! Esse tipo de comportamento seria um desastre se você quisesse prever as populações, mas teve de estimar as populações iniciais.

Na verdade, o caos diz muito mais. Na verdade, se você fizer qualquer erro em tudo na estimativa de populações de insetos iniciais, em seguida, muito em breve a sua previsão será irremediavelmente errado. Você deve tentar algumas experiências-se usando um computador eo mapa logístico com r = 4 para obter uma sensação de como isso funciona. Como você vai descobrir, nem todos os valores de r irá produzir caos. Então, ao invés de tentar prever a população do inseto, que pode ser impossível, cientistas e matemáticos tentar entender quando um determinado sistema é caótico.Saber isso permite-nos saber quando uma predição é preciso e quando não há esperança. Para mais exemplos de caos, ver Encontrar ordem no caos por Chris Budd, da edição 26 da Plus.

Conclusão

Nós mostramos que a equação quadrática tem muitas aplicações e tem desempenhado um papel fundamental na história humana. Aqui estão alguns aplicativos mais em que a equação quadrática é indispensável. Como um desafio, você pode fazer esta lista até 101?

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